avangard-pressa.ru

Задача3. Анализ трёхфазной электрической цепи при схеме соединения приёмников “ звездой”. - Математика

В трёхфазную сеть с симметричной системой линейных напряжений Uл включён трёхфазный потребитель электроэнергии, фазы которого имеют комплексные сопротивления Zа, Zb, Zс и соединены “звездой”.

Определить:

1) линейные и фазные токи,

2) активную Р, реактивную Q и полную S мощности потребителя.

3) показания приборов: амперметра и вольтметра.

4) Построить векторную диаграмму токов и напряжений

III.Краткие теоретические положения.

3.1 Трёхфазная система питания потребителей электроэнергии.

Трёхфазная система питания электрических цепей представляет собой совокупность трёх синусоидальных ЭДС или напряжений, одинаковых по частоте и амплитудному значению, сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 120.

EA = EAm sin wt

EB = EBm sin (wt-2 /3)

EC = ECm sin (wt+2 /3).

В симметричных источниках питания максимальные значения ЭДС равны, соответственно равны и действующие значения ЭДС

EA=EB=EC= Eф. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника, можно принять соответствующие ЭДС источника равными напряжениям, действующим на его зажимах:

EA=UA, EB=UB, EC=UC.

Комплексные напряжения симметричного источника питания могут быть представлены системой уравнений:

Ua = Uф e j0 = Uф,

Ub = Uф e-j120 = Uф(-0,5- j /2) ,

Uс = Uф e+j120 = Uф(-0,5+ j /2)

Фазным называется напряжение между началом и концом фазы. Линейным назовём напряжение между двумя линиями или между началами двух фаз. Соотношение между линейным и фазным напряжениями симметричного источника питания: UЛ = Uф.

3.2 Трёхфазные электрические цепи при соединении фаз приёмников “звездой”.

При соединении фаз трёхфазного источника питания “звездой” концы фаз источника X,Y,Z объединены в общую нейтральную точку N, а начала фаз А,В,С подключаются к соответствующим линейным проводам Аа, Вв, Сс. Аналогичным образом при соединении трёхфазных потребителей объединяются в нейтральную точку n концы его фаз x,y,z, при начала фаз а,в,с подключаются к линейным проводам.

Линейные токи In в питающих линиях имеют условно-положительное направление от источника энергии к приёмнику. При соединении приёмника энергии по схеме “звезда” линейные токи IA,IB,IC одновременно являются и фазными токами приёмника Iа,Iв,Iс, т.е.

IA= Iа; IB = Iв; IC = Iс.

Трёхфазные источники питания практически всегда выполняются симметричными. Трёхфазные потребители электроэнергии могут быть симметричными и несимметричными. Для симметричных приёмников электроэнергии справедливы соотношения, полученные для трёхфазных симметричных источников питания.

При этом:

Ua = Ub=Uc=Uф; UAB = UBC =UCA = UЛ; Za=Zb=Zc=Zф;

cosΨa = cosΨb = cosΨc = CosΨф ; UЛ= Uф.

Для несимметричных приёмников не все эти соотношения соблюдаются.

При анализе трёхфазных электрических цепей широко используется метод комплексных чисел.

При несимметричной нагрузке комплексные сопротивления фаз приёмника не одинаковы (Za≠Zb≠Zc), при этом комплексное напряжение

UnN, действующее между нейтральными точками N и n системы, определяют по методу двух узлов

. . . .

UnN =

где EA, EB, EC – комплексные напряжения источника питания.

Ya = 1/Za; Yb = 1/Zb; Yc= 1/Zc – комплексные проводимости фаз приемника.

Комплексный ток в нейтральном проводе находят в соответствии с уравнением, составленным по первому закону Кирхгофа для нейтральной

. . . .

точки n цепи: IN =Ia + Ib + Ic.

Комплексные фазные напряжения приёмника электроэнергии находят из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура:

. . . . . . . . .

Ua=EA- UnN; Ub=EB - UnN; Uc=EC - UnN.

При этом фазные токи приёмника определяют по закону Ома для соответствующих участков цепи:

. . . . . .

Ia=Ua/Za; Ib=Ub/Zb; Ic=Uc/Zc.

Трёхфазная система обеспечивает приёмники электроэнергии симметричным питанием. При этом активная, реактивная и полная мощности могут быть определены по следующим формулам с учётом знака реактивных сопротивлений:

P = I2A Ra + I2B Rb + I2C Rc =UaIa cosΨa + UbIb cosΨb + UcIc cosΨc ;

Q= I2A Xa + I2B Xb + I2C Xc = IaUa sinΨa + IbUb sinΨb + IcUc sinΨc ;

S = = I2A Za + I2B Zb + I2C Zc;

где cosΨa = Ra/ Za; cosΨb = Rb/ Zb; cosΨc = Rc/ Zc;

sinΨa = Xa/ Za; sinΨb = Xb/ Zb; sinΨb = Xb/ Zb.

При симметричной нагрузке эти формулы приводят к виду:

P= 3 Iф²Rф= Uл Iл cosΨф ;

Q= 3 Iф²Xф= Uл Iл sinΨф ;

S= = Uл Iл,


где cosΨф = Rф/ Zф; sinΨф = Xф/ Zф.

Таблица 3.

№ вар. Za, Ом Zb, Ом Zc, Ом Uл, В 15+j10 10-j20 J40 10-j10 20+j20 J30˚ 10e 15-j20 j45˚ 20e 20+j10 J30 j45˚ 10e 10-j20 j40˚ 4e -j20 15+j10 -j30˚ 20e j15 10+j10 J90˚ 10e 10+j15 J40 -j45˚ 15e 40-j10 -j20 J30˚ 10e 10-j10 10+j10 j45˚ 15e 20+j20 J30˚ 20e -j90˚ 10e 10+j20 J60˚ 15e -j30 j45˚ 25e 10+j30 J90˚ 10e 10+j10 10-j10 20-j20 10+j10 20-j10 5-j10 10+j5 10ej45 25+j25 10-j20 30ej30 20ej30 10+j20 30e-j30 40-j20 20+j40 10+j30 20e-j90 10-j20 30+j10 30-j10 20+j20 40-j20 30ej45 20ej30 30e-j60 20+j10 30-j30 10+j30 30e-j90 20-j20 50ej90 50ej90 40-j10